【sinx的平方的定义域和值域】在数学中，函数“sinx的平方”通常表示为 $ (\sin x)^2 $ 或 $ \sin^2 x $。它是一个常见的三角函数形式，在分析其性质时，需要明确它的定义域和值域。
一、定义域
正弦函数 $ \sin x $ 的定义域是全体实数，即 $ x \in \mathbb{R} $。由于 $ \sin^2 x $ 是对 $ \sin x $ 的平方运算，因此其定义域与 $ \sin x $ 相同。
结论：
$ \sin^2 x $ 的定义域为所有实数，即：
$$
x \in (-\infty, +\infty)
$$
二、值域
正弦函数 $ \sin x $ 的取值范围是 $ [-1, 1] $。当对其进行平方后，结果会变为非负数。因此，$ \sin^2 x $ 的最小值为 0（当 $ \sin x = 0 $ 时），最大值为 1（当 $ \sin x = \pm 1 $ 时）。
结论：
$ \sin^2 x $ 的值域为：
$$
| 0, 1 |
$$
三、总结表格
| 项目 | 内容 |
| 函数表达式 | $ \sin^2 x $ |
| 定义域 | $ x \in (-\infty, +\infty) $ |
| 值域 | $ [0, 1] $ |
四、补充说明
- $ \sin^2 x $ 是一个周期函数，周期为 $ \pi $，因为 $ \sin(x + \pi) = -\sin x $，所以 $ \sin^2(x + \pi) = \sin^2 x $。
- 在实际应用中，如物理、工程或信号处理中，$ \sin^2 x $ 常用于描述能量分布或强度变化。
- 若将 $ \sin^2 x $ 用恒等式转换，可以写成 $ \frac{1 - \cos(2x)}{2} $，这有助于简化计算和积分。
通过以上分析可以看出，$ \sin^2 x $ 虽然形式简单，但在数学和应用中具有重要的意义。理解其定义域和值域有助于更深入地掌握三角函数的相关性质。
