【常用微分公式】在数学中，微分是研究函数变化率的重要工具，尤其在微积分、物理、工程等领域有着广泛的应用。掌握常用的微分公式对于理解和解决实际问题具有重要意义。以下是对常见函数的微分公式进行总结，并以表格形式展示，便于查阅和记忆。
一、基本初等函数的微分公式
| 函数表达式 | 导数（微分） |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a > 0, a ≠ 1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $（x > 0） | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a > 0, a ≠ 1，x > 0） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
二、复合函数的微分法则
在实际应用中，很多函数都是由多个简单函数组合而成的，因此需要使用链式法则、乘积法则、商法则等来求导。
1. 链式法则（复合函数求导）
若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
2. 乘积法则
若 $ y = u(x) \cdot v(x) $，则：
$$
y' = u'v + uv'
$$
3. 商法则
若 $ y = \frac{u(x)}{v(x)} $，则：
$$
y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
$$
三、高阶导数与隐函数求导
1. 高阶导数
对函数多次求导可得到高阶导数，如：
- 二阶导数：$ f''(x) = \frac{d^2f}{dx^2} $
- 三阶导数：$ f'''(x) = \frac{d^3f}{dx^3} $
2. 隐函数求导
若函数由方程 $ F(x, y) = 0 $ 隐含定义，则对两边同时对 x 求导，解出 $ \frac{dy}{dx} $。
四、总结
微分是数学分析的核心内容之一，掌握常见的微分公式不仅有助于提高解题效率，还能加深对函数性质的理解。通过熟练运用基本公式和求导法则，可以应对各种复杂的微分问题。建议在学习过程中结合例题练习，逐步提升自己的应用能力。
以上内容为原创整理，适用于学生复习、教师备课或自学参考。
