【10个常用麦克劳林公式】麦克劳林公式是泰勒展开式在 $ x = 0 $ 处的特殊形式，广泛应用于数学分析、物理和工程中。它将一个函数在原点附近用多项式近似表示，便于计算和分析。以下是10个常用的麦克劳林展开公式，适用于常见的初等函数。
一、
麦克劳林级数是泰勒级数的一种特殊情况，其展开点为 $ x = 0 $。通过这些展开式，我们可以将复杂的函数转化为多项式形式，从而更方便地进行数值计算、近似求解以及理论分析。掌握这些基本的麦克劳林公式对于学习微积分、高等数学乃至应用科学都具有重要意义。
以下列出的是10个最常用的麦克劳林公式，包括指数函数、三角函数、反三角函数、对数函数等常见函数的展开形式。
二、表格展示（10个常用麦克劳林公式）
| 函数 | 麦克劳林展开式 | 收敛区间 | ||
| $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + \cdots $ | $ -1 < x \leq 1 $ | ||
| $ \arctan x $ | $ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots + (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} + \cdots $ | $ -1 \leq x \leq 1 $ | ||
| $ \arcsin x $ | $ x + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{x^5}{5} + \cdots $ | $ -1 \leq x \leq 1 $ | ||
| $ \tan x $ | $ x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots $ | $ | x | < \frac{\pi}{2} $ |
| $ \sinh x $ | $ x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots + \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \cosh x $ | $ 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots + \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ (1+x)^k $ | $ 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^3 + \cdots $ | $ | x | < 1 $（当 $ k $ 为任意实数时） |
三、小结
以上10个麦克劳林公式涵盖了大部分常见的初等函数和一些特殊函数的展开形式。它们不仅有助于理解函数的局部行为，还能用于近似计算、极限分析以及微分方程求解等实际问题中。掌握这些公式，能够大大提升在数学分析中的灵活性与准确性。
