在数学分析中，不定积分是求解函数原函数的过程，它广泛应用于物理学、工程学以及经济学等领域。本文将探讨一个特定形式的不定积分——∫x e^(x²) dx。
首先，我们观察到被积函数由两部分组成：一个是线性函数x，另一个是非线性指数函数e^(x²)。这类积分通常可以通过变量替换法来简化。
令u = x²，则du/dx = 2x，即dx = du/(2x)。将此代入原积分表达式：
∫x e^(x²) dx = ∫x e^u (du / (2x))
注意到x与dx中的x可以约去，得到：
= (1/2) ∫e^u du
这是一个标准的指数函数积分，结果为：
= (1/2)e^u + C
再将u替换回原变量x，得到最终答案：
= (1/2)e^(x²) + C
其中C为任意常数，代表积分后的任意性。
通过上述步骤可以看出，对于形如∫x e^(x^n) dx（n为正整数）的积分问题，都可以采用类似的变量替换策略解决。这种方法不仅适用于简单的二次方幂情况，还可以推广到更高次幂的情形。
总结来说，掌握好基本的积分技巧和灵活运用变量替换方法是解决此类问题的关键所在。希望本文能帮助读者更好地理解并应用这一重要的数学工具。
