【二项式展开式各项系数和】在数学中，二项式展开是代数中的一个重要内容。当我们对一个形如 $(a + b)^n$ 的表达式进行展开时，会得到一系列的项，每一项的形式为 $C_n^k a^{n-k}b^k$，其中 $C_n^k$ 是组合数。这些项的系数之和，即为“二项式展开式各项系数和”。
为了求解这个系数和，我们可以采用一种简便的方法：将 $a = 1$、$b = 1$ 代入原式，此时展开式的各项系数正好等于每个项的数值，因此整个展开式的值就是各项系数的和。
例如，对于 $(a + b)^n$，当 $a = 1$、$b = 1$ 时，$(1 + 1)^n = 2^n$，这即是该二项式展开式各项系数的总和。
以下是一些常见幂次的二项式展开式及其各项系数和的总结：
| 幂次 $n$ | 展开式 | 各项系数和（$2^n$） |
| 0 | $(a + b)^0 = 1$ | $1$ |
| 1 | $(a + b)^1 = a + b$ | $2$ |
| 2 | $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ | $4$ |
| 3 | $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ | $8$ |
| 4 | $(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$ | $16$ |
| 5 | $(a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$ | $32$ |
通过上述表格可以看出，无论 $n$ 取何值，二项式展开式各项系数的和始终为 $2^n$。这一结论不仅适用于 $(a + b)^n$，也适用于类似形式的多项式展开，只要我们设定所有变量为1即可。
这种计算方法简单而高效，避免了逐项相加的繁琐过程，同时也体现了数学中对称性和简洁性的美。掌握这一规律，有助于我们在学习多项式展开、组合数学以及概率论等知识时更加得心应手。
