【常见的收敛和发散的无穷级数】在数学分析中，无穷级数是一个重要的研究对象。它由无限多个数按一定顺序相加构成，而其“收敛”或“发散”则是判断该级数是否有有限和的关键。以下是一些常见的无穷级数及其收敛性判断方法，以与表格形式呈现。

一、常见无穷级数类型及收敛性分析

1. 等比级数（几何级数）

形式为：$ \sum_{n=0}^{\infty} ar^n $，其中 $ a $ 为首项，$ r $ 为公比。

- 当 $ r < 1 $ 时，级数收敛，和为 $ \frac{a}{1 - r} $。

- 当 $ r \geq 1 $ 时，级数发散。

2. 调和级数

形式为：$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} $。

- 调和级数是发散的，尽管其通项趋于零，但总和会无限增大。

3. p-级数

形式为：$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} $。

- 当 $ p > 1 $ 时，级数收敛；

- 当 $ p \leq 1 $ 时，级数发散。

4. 交错级数

形式为：$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} a_n $，其中 $ a_n > 0 $。

- 若 $ a_n $ 单调递减且 $ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 $，则级数收敛（莱布尼茨判别法）。

5. 幂级数

形式为：$ \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - c)^n $。

- 收敛半径 $ R $ 可通过比值法或根值法求得，当 $ x - c < R $ 时绝对收敛，当 $ x - c > R $ 时发散。

6. 泰勒级数与麦克劳林级数

属于幂级数的一种，用于展开函数。

- 在收敛区间内，级数与原函数相等。

7. 傅里叶级数

用于将周期函数表示为正弦和余弦函数的无穷级数。

- 在满足狄利克雷条件时，级数收敛于原函数。

二、常见无穷级数收敛性对比表

三、总结

无穷级数的收敛性是数学分析中的核心内容之一，掌握其判断方法对于理解函数展开、数值计算以及物理模型都有重要意义。不同类型的级数具有不同的收敛条件，如等比级数依赖于公比，p-级数依赖于指数，而交错级数则需要满足单调性和极限条件。通过合理选择判别方法，可以有效判断一个级数是否收敛或发散。