【2次导数怎么求】在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。一次导数可以表示函数的瞬时变化率，而二次导数则是对一次导数再次求导的结果，它能反映函数的凹凸性以及变化率的变化情况。本文将详细讲解如何求一个函数的二次导数，并以表格形式进行总结。
一、什么是二次导数？
二次导数是指对原函数先求一次导数（即一阶导数），然后再对一阶导数求导所得到的导数。记作：
$$
f''(x) \quad \text{或} \quad \frac{d^2f}{dx^2}
$$
二次导数可以帮助我们判断函数图像的凹凸性：
- 若 $ f''(x) > 0 $，则函数在该点处为向上凹；
- 若 $ f''(x) < 0 $，则函数在该点处为向下凸。
二、如何求二次导数？
求二次导数的基本步骤如下：
1. 求一阶导数：对原函数 $ f(x) $ 求导，得到 $ f'(x) $；
2. 求二阶导数：对 $ f'(x) $ 再次求导，得到 $ f''(x) $。
三、常见函数的二次导数示例
以下是一些常见函数的二次导数计算过程和结果：
| 函数 $ f(x) $ | 一阶导数 $ f'(x) $ | 二阶导数 $ f''(x) $ |
| $ x^n $ | $ nx^{n-1} $ | $ n(n-1)x^{n-2} $ |
| $ e^x $ | $ e^x $ | $ e^x $ |
| $ \sin x $ | $ \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ \cos x $ | $ -\sin x $ | $ -\cos x $ |
| $ \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ | $ -\frac{1}{x^2} $ |
| $ \log_a x $ | $ \frac{1}{x \ln a} $ | $ -\frac{1}{x^2 \ln a} $ |
四、注意事项
- 在求导过程中，需注意使用导数法则，如乘积法则、商法则、链式法则等；
- 对于复合函数，必须使用链式法则来逐层求导；
- 二次导数在极值分析、曲线凹凸性判断中具有重要应用。
五、总结
求二次导数的关键在于分步求导，即先求一阶导数，再对其求导。通过掌握基本函数的导数规则，并结合适当的求导技巧，可以高效地计算出任意函数的二阶导数。了解二次导数的意义和应用场景，有助于更深入地理解函数的性质与行为。
附：快速记忆口诀
“先求一阶导，再求二阶导；
函数变化快慢看，凹凸性里找。”
