在数学学习中，不等式是一个重要的知识点，它不仅考察了学生的逻辑思维能力，还培养了解题技巧和耐心。下面，我为大家精心准备了10道不同类型的不等式题目，并附上详细的解答过程，希望能帮助大家更好地理解和掌握这一部分内容。
题目一：
已知 $ x > 3 $，求证：$ x^2 - 6x + 9 > 0 $。
解答：
原式可以化为 $ (x-3)^2 > 0 $。因为平方数总是非负的，且 $ x \neq 3 $（否则等号成立），所以 $ x^2 - 6x + 9 > 0 $ 成立。
题目二：
解不等式 $ |2x - 5| < 7 $。
解答：
由绝对值定义可得 $ -7 < 2x - 5 < 7 $。两边同时加5得到 $ -2 < 2x < 12 $，再除以2得 $ -1 < x < 6 $。
题目三：
若 $ a, b > 0 $，证明：$ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 $。
解答：
利用均值不等式 $ \frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{a}}{2} \geq \sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}} = 1 $，因此 $ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 $。
题目四：
解不等式组：
$$
\begin{cases}
x + y \leq 8 \\
x - y \geq 2
\end{cases}
$$
解答：
将两个不等式联立，解得 $ 2 \leq x \leq 5 $，同时 $ 3 \leq y \leq 6 $。
题目五：
已知 $ x > 0 $，求证：$ x + \frac{1}{x} \geq 2 $。
解答：
利用均值不等式 $ \frac{x + \frac{1}{x}}{2} \geq \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 1 $，因此 $ x + \frac{1}{x} \geq 2 $。
题目六：
解不等式 $ 3x - 4 > 2x + 5 $。
解答：
移项整理得 $ x > 9 $。
题目七：
若 $ a, b, c > 0 $，证明：$ \frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc} $。
解答：
利用均值不等式 $ \frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc} $，显然成立。
题目八：
解不等式 $ x^2 - 4x + 3 < 0 $。
解答：
因式分解得 $ (x-1)(x-3) < 0 $。通过数轴法或测试点法，解得 $ 1 < x < 3 $。
题目九：
已知 $ x \geq 0 $，求证：$ x^2 + 1 \geq 2x $。
解答：
移项整理得 $ (x-1)^2 \geq 0 $，显然成立。
题目十：
解不等式组：
$$
\begin{cases}
2x + y \leq 6 \\
x - y \geq 1
\end{cases}
$$
解答：
联立解得 $ 1 \leq x \leq 2 $，同时 $ -1 \leq y \leq 4 $。
以上便是10道经典不等式题目及其详细解答。希望大家通过练习能够熟练掌握不等式的解法和应用技巧！
