在数学分析中，幂级数是一种非常重要的工具，它能够将复杂的函数表示为无穷多项式的和。这种表示方法不仅便于计算，还能够在许多领域中提供深刻的洞察。以下是几个常见的幂级数展开式公式：

1. 指数函数的幂级数展开：

\( e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \)

2. 自然对数的幂级数展开（|x| < 1）：

\( \ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \)

3. 正弦函数的幂级数展开：

\( \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \)

4. 余弦函数的幂级数展开：

\( \cos(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \)

5. 幂函数的幂级数展开（|x| < 1）：

\( (1+x)^a = \sum_{n=0}^\infty \binom{a}{n} x^n = 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \cdots \)

其中，\(\binom{a}{n}\) 是广义二项式系数。

这些公式在微积分、物理学以及工程学等领域有着广泛的应用。掌握这些公式不仅可以帮助我们更好地理解函数的行为，还能简化许多复杂问题的求解过程。在实际应用中，我们需要根据具体的问题选择合适的展开方式，并注意收敛域的限制条件。