在几何学和计算机图形学中，图形旋转是一个非常基础且重要的操作。无论是为了实现动画效果，还是用于三维建模，旋转都是不可或缺的一部分。而要准确地描述和执行这种变换，就需要借助一些数学模型。以下是一些常见的图形旋转数学模型。

1. 平面旋转矩阵

平面旋转最常用的数学工具是旋转矩阵。对于二维空间中的点 (x, y)，绕原点逆时针旋转 θ 角度后的坐标可以通过以下公式计算：

\[

\begin{bmatrix}

x' \\

y'

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

\cos(\theta) & -\sin(\theta) \\

\sin(\theta) & \cos(\theta)

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x \\

y

\end{bmatrix}

\]

这个矩阵可以用来表示任意角度的旋转，其中 θ 是旋转的角度。

2. 齐次坐标下的旋转

在齐次坐标系统中，二维平面上的点被表示为一个三维向量 [x, y, 1]。这样可以方便地将旋转和平移等操作统一到一个4x4的矩阵中。平面旋转在齐次坐标下的旋转矩阵为：

\[

\begin{bmatrix}

\cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\

\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}

\]

通过这种方式，我们可以轻松地扩展到更高维度的空间中。

3. 四元数表示法

虽然四元数通常用于三维空间中的旋转，但它们也可以应用于二维空间。四元数提供了一种紧凑的方式来表示旋转，并且避免了欧拉角可能遇到的万向锁问题。在二维情况下，四元数可以简化为复数形式，其中复数 z = a + bi 可以表示二维平面上的一个旋转。

4. 欧拉角表示法

欧拉角是一种直观的方法来描述三维物体的旋转。它通过三个角度来定义旋转顺序（通常是 yaw-pitch-roll）。然而，在二维空间中，由于只有一个自由度，所以不需要使用完整的欧拉角表示法。

5. 极坐标系下的旋转

在极坐标系中，点的位置由其距离原点的距离 r 和与正 x 轴之间的角度 φ 来确定。当一个点绕原点旋转时，它的 r 值保持不变，而 φ 增加或减少旋转的角度。

这些数学模型为我们提供了多种方法来理解和实现图形旋转。选择哪种模型取决于具体的应用场景和个人偏好。无论是简单的二维旋转还是复杂的三维变换，都有相应的数学工具可供选择。