【导数除法求导】在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。当函数由两个可导函数相除构成时，我们通常使用“导数的除法法则”来进行求导。这个法则也被称为“商法则”，是求导过程中非常常见的技巧之一。
一、导数除法的基本概念
如果有一个函数 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $，那么该函数的导数可以通过以下公式计算：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
这个公式可以简记为：分子导乘分母减分子乘分母导，再除以分母平方。
二、导数除法的步骤总结
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 确定被除函数的形式，即 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $ |
| 2 | 分别对分子 $ u(x) $ 和分母 $ v(x) $ 求导，得到 $ u'(x) $ 和 $ v'(x) $ |
| 3 | 将 $ u'(x) $ 与 $ v(x) $ 相乘，得到第一项 |
| 4 | 将 $ u(x) $ 与 $ v'(x) $ 相乘，得到第二项 |
| 5 | 将第一项减去第二项，得到分子部分 |
| 6 | 将分母部分平方，即 $ [v(x)]^2 $ |
| 7 | 将分子部分与分母部分组合成最终的导数表达式 |
三、示例解析
例题： 求函数 $ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1} $ 的导数。
解：
- $ u(x) = x^2 + 1 $，则 $ u'(x) = 2x $
- $ v(x) = x - 1 $，则 $ v'(x) = 1 $
根据商法则：
$$
f'(x) = \frac{(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2}
$$
展开并简化：
$$
f'(x) = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 1)}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 1}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}
$$
四、常见错误提示
| 错误类型 | 原因 | 正确做法 |
| 忽略分母平方 | 只写分母为 $ v(x) $，未平方 | 记住公式中的分母是 $ [v(x)]^2 $ |
| 混淆顺序 | 把 $ u'v - uv' $ 写成 $ uv' - u'v $ | 注意“先导后不导，再减去前不导后导” |
| 导数符号错误 | 对 $ u(x) $ 或 $ v(x) $ 求导出错 | 多练习基本导数规则，如幂函数、三角函数等 |
五、小结
导数的除法法则（商法则）是处理分式函数求导的核心方法。掌握其公式和步骤，有助于提高解题效率。通过反复练习和理解公式的逻辑结构，可以有效避免常见错误，提升数学运算能力。
如需进一步学习导数的乘法法则或其他求导技巧，欢迎继续关注相关内容。
