【105的三角函数值】在三角函数的学习中，常见的角度如30°、45°、60°等都有明确的函数值，但像105°这样的角度并不常见。105°是一个大于90°但小于180°的角，属于第二象限。对于这类角度，我们可以通过三角恒等变换来求解其三角函数值，例如利用和角公式或差角公式。
105°可以表示为60° + 45°，因此我们可以使用正弦、余弦和正切的和角公式来计算其三角函数值。以下是105°的三角函数值的总结：
105°的三角函数值总结
| 函数名称 | 表达式 | 近似值（保留四位小数） |
| sin(105°) | sin(60° + 45°) = sin60·cos45 + cos60·sin45 | 0.9659 |
| cos(105°) | cos(60° + 45°) = cos60·cos45 - sin60·sin45 | -0.2588 |
| tan(105°) | tan(60° + 45°) = (tan60 + tan45)/(1 - tan60·tan45) | -3.7321 |
详细推导过程
1. 正弦函数：
$$
\sin(105^\circ) = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin60^\circ \cdot \cos45^\circ + \cos60^\circ \cdot \sin45^\circ
$$
代入已知值：
$$
\sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos60^\circ = \frac{1}{2}, \quad \sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}
$$
计算得：
$$
\sin(105^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0.9659
$$
2. 余弦函数：
$$
\cos(105^\circ) = \cos(60^\circ + 45^\circ) = \cos60^\circ \cdot \cos45^\circ - \sin60^\circ \cdot \sin45^\circ
$$
代入数值：
$$
\cos(105^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} \approx -0.2588
$$
3. 正切函数：
$$
\tan(105^\circ) = \tan(60^\circ + 45^\circ) = \frac{\tan60^\circ + \tan45^\circ}{1 - \tan60^\circ \cdot \tan45^\circ}
$$
已知：
$$
\tan60^\circ = \sqrt{3}, \quad \tan45^\circ = 1
$$
代入计算：
$$
\tan(105^\circ) = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} = -\frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{2} \approx -3.7321
$$
通过以上方法，我们可以准确地得到105°的三角函数值，并且这些结果也符合三角函数在第二象限的符号规律：正弦为正，余弦为负，正切为负。掌握这些计算方式有助于在实际问题中灵活运用三角函数知识。
