【2次函数的所有公式】2次函数是初中到高中阶段数学学习的重要内容，它在解析几何、物理运动分析等领域都有广泛应用。2次函数的标准形式为 $ y = ax^2 + bx + c $，其中 $ a \neq 0 $。为了帮助大家更系统地掌握2次函数的相关知识，以下将总结其常用公式，并以表格形式进行整理。
一、基本概念与表达式
| 名称 | 公式 | 说明 |
| 一般式 | $ y = ax^2 + bx + c $ | $ a, b, c $ 为常数，$ a \neq 0 $ |
| 顶点式 | $ y = a(x - h)^2 + k $ | $ (h, k) $ 为顶点坐标 |
| 因式分解式 | $ y = a(x - x_1)(x - x_2) $ | $ x_1, x_2 $ 为方程的两个实数根 |
二、关键性质与计算公式
| 内容 | 公式 | 说明 |
| 开口方向 | 当 $ a > 0 $，开口向上；当 $ a < 0 $，开口向下 | 判断图像形状 |
| 对称轴 | $ x = -\frac{b}{2a} $ | 图像关于该直线对称 |
| 顶点坐标 | $ \left( -\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right) $ | 最高点或最低点 |
| 判别式 | $ \Delta = b^2 - 4ac $ | 判断根的个数 |
| 根的公式（求根公式） | $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $ | 求解方程的根 |
| 韦达定理 | $ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} $ $ x_1 x_2 = \frac{c}{a} $ | 根与系数的关系 |
三、图像特征与应用
| 特征 | 说明 |
| 与x轴交点 | 由判别式决定：若 $ \Delta > 0 $，有两个交点；若 $ \Delta = 0 $，有一个交点；若 $ \Delta < 0 $，无交点 |
| 与y轴交点 | 当 $ x = 0 $，$ y = c $ |
| 最大值/最小值 | 若 $ a > 0 $，顶点处取得最小值；若 $ a < 0 $，顶点处取得最大值 |
四、常见题型与解法
| 题型 | 解法 |
| 求顶点 | 使用顶点公式或配方法 |
| 求根 | 使用求根公式或因式分解法 |
| 求函数表达式 | 已知三点或顶点和一点等条件时使用待定系数法 |
| 应用问题 | 如抛物线运动、利润最大化等问题，需建立模型并分析函数性质 |
总结
2次函数是代数中非常重要的一个部分，掌握其基本形式、性质和相关公式对于解决实际问题具有重要意义。通过理解顶点、对称轴、判别式等关键概念，可以更好地分析和应用2次函数。希望本文能帮助你系统梳理2次函数的知识点，提升解题能力。
