【arccosxdx的积分怎么求】在微积分的学习过程中，不定积分是重要内容之一。其中，像“arccosx dx”的积分问题，虽然看似简单，但需要一定的技巧和步骤才能正确解答。本文将对这一积分进行总结，并通过表格形式清晰展示计算过程。
一、积分思路分析
函数 $ \arccos x $ 是反三角函数之一，其导数为：
$$
\frac{d}{dx} (\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
而我们要计算的是：
$$
\int \arccos x \, dx
$$
这是一个典型的“分部积分法”（Integration by Parts）应用场景。根据分部积分公式：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
我们可以选择合适的 $ u $ 和 $ dv $ 来简化积分过程。
二、分部积分法解题步骤
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 设 $ u = \arccos x $，则 $ du = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx $ |
| 2 | 设 $ dv = dx $，则 $ v = x $ |
| 3 | 应用分部积分公式：$ \int \arccos x \, dx = x \arccos x - \int x \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\right) dx $ |
| 4 | 化简得到：$ x \arccos x + \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx $ |
| 5 | 对剩余积分 $ \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx $ 进行换元法处理，令 $ t = 1 - x^2 $，则 $ dt = -2x dx $，即 $ x dx = -\frac{1}{2} dt $ |
| 6 | 替换后得：$ \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t}} dt = -\sqrt{t} + C = -\sqrt{1 - x^2} + C $ |
三、最终结果
将上述结果代入原式：
$$
\int \arccos x \, dx = x \arccos x - \sqrt{1 - x^2} + C
$$
四、总结表格
| 积分表达式 | 解答 |
| $ \int \arccos x \, dx $ | $ x \arccos x - \sqrt{1 - x^2} + C $ |
| 使用方法 | 分部积分法 + 换元法 |
| 关键步骤 | 选择 $ u = \arccos x $，$ dv = dx $；换元 $ t = 1 - x^2 $ |
| 注意事项 | 结果中常数项 $ C $ 不可省略 |
五、小结
对于 $ \arccos x $ 的积分，关键在于合理应用分部积分法，同时对后续出现的有理函数积分使用换元法进行化简。掌握这些基本方法，能够帮助我们解决更多类似的积分问题。
