在数学领域中，微分方程的研究一直是重要的课题之一。今天，我们将探讨一个相对简单的常微分方程问题，即求解形如 \( y' = 3xy \) 的通解。

首先，我们需要明确这是一个一阶线性微分方程。这类方程通常可以通过分离变量法来解决。具体步骤如下：

分离变量

将方程中的 \( y' \) 写成导数形式 \( \frac{dy}{dx} \)，得到：

\[

\frac{dy}{dx} = 3xy

\]

接下来，将 \( x \) 和 \( y \) 分别移到等式两边，得到：

\[

\frac{1}{y} dy = 3x dx

\]

积分

对两边分别积分，左边对 \( y \) 积分，右边对 \( x \) 积分：

\[

\int \frac{1}{y} dy = \int 3x dx

\]

计算积分后，我们得到：

\[

\ln|y| = \frac{3}{2}x^2 + C

\]

其中 \( C \) 是积分常数。

求解 \( y \)

为了得到 \( y \) 的表达式，我们将两边取指数函数：

\[

y = e^{\frac{3}{2}x^2 + C}

\]

利用指数的性质 \( e^{a+b} = e^a \cdot e^b \)，可以进一步化简为：

\[

y = e^C \cdot e^{\frac{3}{2}x^2}

\]

令 \( e^C = C_1 \)（其中 \( C_1 \) 是新的常数），最终得到通解为：

\[

y = C_1 e^{\frac{3}{2}x^2}

\]

结论

通过上述步骤，我们得到了方程 \( y' = 3xy \) 的通解为：

\[

y = C_1 e^{\frac{3}{2}x^2}

\]

这个结果表明，对于任意给定的初始条件，都可以通过确定常数 \( C_1 \) 来获得特定解。这种方法不仅适用于本题，还可以推广到更多类似的微分方程问题中。

希望这篇内容对你有所帮助！

---