【不定积分公式】在微积分的学习过程中，不定积分是重要的基础内容之一。它与导数互为逆运算，用于求解函数的原函数。掌握常见的不定积分公式，有助于提高解题效率和理解数学的本质。以下是对常见不定积分公式的总结，便于查阅和记忆。
一、基本积分公式
| 函数 | 不定积分 | ||
| $ x^n $ (n ≠ -1) | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ |
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | ||
| $ a^x $ (a > 0, a ≠ 1) | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $ | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ \tan x $ | $ -\ln | \cos x | + C $ |
| $ \cot x $ | $ \ln | \sin x | + C $ |
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | ||
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ | ||
| $ \sec x \tan x $ | $ \sec x + C $ | ||
| $ \csc x \cot x $ | $ -\csc x + C $ |
二、三角函数相关积分
| 函数 | 不定积分 |
| $ \sin(ax + b) $ | $ -\frac{1}{a} \cos(ax + b) + C $ |
| $ \cos(ax + b) $ | $ \frac{1}{a} \sin(ax + b) + C $ |
| $ \sec^2(ax + b) $ | $ \frac{1}{a} \tan(ax + b) + C $ |
| $ \csc^2(ax + b) $ | $ -\frac{1}{a} \cot(ax + b) + C $ |
三、反三角函数相关积分
| 函数 | 不定积分 |
| $ \frac{1}{1 + x^2} $ | $ \arctan x + C $ |
| $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | $ \arcsin x + C $ |
| $ \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | $ \arccos x + C $ |
四、其他常用积分公式
| 函数 | 不定积分 | ||
| $ \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \frac{1}{x^2 - a^2} $ | $ \frac{1}{2a} \ln\left | \frac{x - a}{x + a}\right | + C $ |
| $ \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} $ | $ \ln\left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right) + C $ | ||
| $ \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} $ | $ \ln\left | x + \sqrt{x^2 - a^2}\right | + C $ |
五、注意事项
- 积分常数 $ C $ 是任意常数，表示所有可能的原函数。
- 某些积分可能需要通过代换、分部积分或特殊技巧来求解。
- 在实际应用中，应结合具体题目灵活运用这些公式。
通过熟悉这些基本的不定积分公式，可以更快地解决各类积分问题。建议在学习过程中多做练习，加深对公式的理解和应用能力。
