【arcsinx求导后是啥】在微积分中，反三角函数的求导是一个常见且重要的知识点。其中，arcsinx（即反正弦函数）的导数是学习微分时必须掌握的内容之一。本文将总结arcsinx的导数，并以表格形式清晰展示相关公式与推导过程。
一、arcsinx的导数
设 $ y = \arcsin x $，则其导数为：
$$
\frac{d}{dx} (\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
这个结果可以通过隐函数求导法或利用三角恒等式进行推导。
二、推导过程简要说明
1. 设 $ y = \arcsin x $，则 $ x = \sin y $。
2. 对两边对x求导：
$$
\frac{dx}{dy} = \cos y
$$
3. 所以：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{\cos y}
$$
4. 利用三角恒等式 $ \cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2} $，得：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
三、总结表格
| 函数表达式 | 导数表达式 | 定义域 | 备注 |
| $ y = \arcsin x $ | $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | $ x \in [-1, 1] $ | 导数在定义域内有效，且导数恒大于0 |
四、注意事项
- 定义域限制：$ \arcsin x $ 的定义域为 $ [-1, 1] $，超出该范围无意义。
- 导数的正负性：由于 $ \sqrt{1 - x^2} > 0 $，所以导数始终为正，表示arcsinx在其定义域内单调递增。
- 应用领域：该导数常用于物理、工程和数学中的微分方程、优化问题等。
通过上述内容可以看出，arcsinx的导数虽然简单，但在实际计算中具有重要意义。掌握这一基础内容有助于进一步理解更复杂的微积分问题。
