【行列式的性质有什么】行列式是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于矩阵的求解、方程组的判断以及几何变换等领域。了解行列式的性质有助于我们更深入地理解其应用与计算方法。以下是对“行列式的性质有什么”这一问题的总结。
一、行列式的性质总结
1. 行列式与其转置相等
行列式的值与其转置矩阵的行列式相等，即：
$$
\det(A) = \det(A^T)
$$
2. 交换两行（列）会改变行列式的符号
如果交换矩阵的任意两行或两列，则行列式的值变号：
$$
\det(A') = -\det(A)
$$
3. 某一行（列）乘以一个常数，行列式也乘以该常数
若将矩阵的一行（列）乘以常数 $k$，则行列式的值变为原来的 $k$ 倍：
$$
\det(kA_i) = k \cdot \det(A)
$$
4. 若某一行（列）全为零，则行列式为零
当矩阵中存在一行或一列全为零时，行列式的值为零。
5. 若两行（列）相同或成比例，则行列式为零
如果矩阵中有两行（列）完全相同或成比例关系，则行列式的值为零。
6. 行列式具有线性性质
对于某一行（列），行列式可以拆分为两个行列式的和：
$$
\det(A + B) \neq \det(A) + \det(B)
$$
但对某一行（列）来说，有：
$$
\det(\text{某行} + \text{另一行}) = \det(\text{原行}) + \det(\text{新行})
$$
7. 行列式的乘法性质
两个矩阵的乘积的行列式等于它们的行列式的乘积：
$$
\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)
$$
8. 单位矩阵的行列式为1
单位矩阵 $I_n$ 的行列式恒为1。
9. 三角矩阵的行列式为其对角线元素的乘积
上三角矩阵或下三角矩阵的行列式等于其主对角线上所有元素的乘积。
10. 行列式可用来判断矩阵是否可逆
若 $\det(A) \neq 0$，则矩阵 $A$ 可逆；若 $\det(A) = 0$，则矩阵不可逆。
二、行列式性质总结表
| 性质编号 | 性质描述 | 数学表达 |
| 1 | 行列式与其转置相等 | $\det(A) = \det(A^T)$ |
| 2 | 交换两行（列）符号变号 | $\det(A') = -\det(A)$ |
| 3 | 某一行（列）乘以常数，行列式也乘以该常数 | $\det(kA_i) = k \cdot \det(A)$ |
| 4 | 某一行（列）全为零，行列式为零 | $\det(A) = 0$（若某行/列全为零） |
| 5 | 两行（列）相同或成比例，行列式为零 | $\det(A) = 0$（若两行/列相同或成比例） |
| 6 | 行列式具有线性性质 | $\det(\text{某行} + \text{另一行}) = \det(\text{原行}) + \det(\text{新行})$ |
| 7 | 行列式的乘法性质 | $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$ |
| 8 | 单位矩阵的行列式为1 | $\det(I_n) = 1$ |
| 9 | 三角矩阵的行列式为其对角线元素的乘积 | $\det(A) = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$ |
| 10 | 行列式可判断矩阵是否可逆 | $\det(A) \neq 0 \Rightarrow A$ 可逆 |
通过以上总结可以看出，行列式的性质不仅帮助我们理解其数学本质，还为实际计算提供了便利。掌握这些性质对于进一步学习线性代数及相关应用非常重要。
