【等比数列通项公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数。这个常数被称为“公比”。等比数列广泛应用于数学、物理、经济等领域，掌握其通项公式是理解这类数列的关键。
一、等比数列的基本概念
- 定义：如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项的比值都是同一个常数，那么这个数列称为等比数列。
- 公比（r）：数列中相邻两项的比值，即 $ r = \frac{a_{n}}{a_{n-1}} $。
- 首项（a₁）：数列的第一项。
二、等比数列的通项公式
等比数列的第 $ n $ 项可以用以下公式表示：
$$
a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
$$
其中：
- $ a_n $ 是第 $ n $ 项；
- $ a_1 $ 是首项；
- $ r $ 是公比；
- $ n $ 是项数。
三、通项公式的应用举例
| 项数 $ n $ | 首项 $ a_1 $ | 公比 $ r $ | 第 $ n $ 项 $ a_n $ | 计算过程 |
| 1 | 2 | 3 | 2 | $ 2 \times 3^{0} = 2 $ |
| 2 | 2 | 3 | 6 | $ 2 \times 3^{1} = 6 $ |
| 3 | 2 | 3 | 18 | $ 2 \times 3^{2} = 18 $ |
| 4 | 2 | 3 | 54 | $ 2 \times 3^{3} = 54 $ |
| 5 | 2 | 3 | 162 | $ 2 \times 3^{4} = 162 $ |
四、总结
等比数列的通项公式是：
$$
a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
$$
通过这个公式，我们可以快速求出等比数列中的任意一项，而不需要逐项计算。掌握这一公式有助于我们更好地理解和分析等比数列的变化规律，并在实际问题中灵活运用。
关键词：等比数列、通项公式、公比、首项、数列规律
