【考研八个常见的泰勒公式】在考研数学中，泰勒公式是一个非常重要的知识点，尤其在极限、导数、积分以及函数展开等问题中频繁出现。掌握常见的泰勒展开式不仅有助于提高解题效率，还能加深对函数性质的理解。以下是考研中常见的八个泰勒公式，以总结加表格的形式呈现。
一、泰勒公式的简要介绍
泰勒公式是将一个函数在某一点附近用多项式来近似表示的方法。其基本形式为：
$$
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)
$$
其中 $R_n(x)$ 是余项，表示误差部分。在考研中，我们通常使用的是麦克劳林公式（即 $a=0$ 的情况）。
二、常见泰勒展开式总结
以下列出的八个泰勒公式是考研数学中最常遇到的，适用于不同类型的函数展开问题。
| 序号 | 函数表达式 | 泰勒展开式（麦克劳林级数） | 展开范围 | ||
| 1 | $e^x$ | $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots$ | $(-\infty, +\infty)$ | ||
| 2 | $\sin x$ | $x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots$ | $(-\infty, +\infty)$ | ||
| 3 | $\cos x$ | $1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots$ | $(-\infty, +\infty)$ | ||
| 4 | $\ln(1+x)$ | $x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + \cdots$ | $(-1, 1]$ | ||
| 5 | $\arctan x$ | $x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots + (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} + \cdots$ | $[-1, 1]$ | ||
| 6 | $(1+x)^k$ | $1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^3 + \cdots + \binom{k}{n}x^n + \cdots$ | $ | x | < 1$ |
| 7 | $\tan x$ | $x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots$（高阶项略） | $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ | ||
| 8 | $\frac{1}{1-x}$ | $1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n + \cdots$ | $ | x | < 1$ |
三、注意事项
1. 展开点选择：大多数情况下使用的是 $x=0$ 的麦克劳林展开，但有时题目会要求在其他点展开，如 $x=1$ 或 $x=a$，需根据题意灵活处理。
2. 收敛域：每个展开式都有其收敛区间，尤其是涉及 $\ln(1+x)$ 和 $\frac{1}{1-x}$ 等函数时，必须注意定义域和收敛条件。
3. 应用方向：泰勒公式常用于求极限、证明不等式、判断函数单调性、计算积分近似值等，建议多做相关练习题加以巩固。
四、小结
掌握这八个常见的泰勒公式，能够帮助考生在考试中快速应对与泰勒展开相关的题目。理解其推导过程和适用范围，有助于提升解题的准确性和灵活性。建议在复习过程中结合例题进行反复练习，加深记忆与理解。
