【0的阶乘等于几】在数学中，阶乘是一个常见的概念，通常用于排列组合、概率计算等领域。阶乘的定义是：对于一个非负整数 $ n $，其阶乘 $ n! $ 表示从 1 到 $ n $ 所有正整数的乘积。即：
$$
n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 1
$$
然而，当 $ n = 0 $ 时，这个定义似乎无法直接应用。那么，“0的阶乘等于几”这个问题的答案究竟是什么？
根据数学界的普遍共识和定义，0 的阶乘被定义为 1，即：
$$
0! = 1
$$
这个定义虽然看起来有些反直觉，但它是基于阶乘函数的扩展（如伽玛函数）以及在组合数学中的实际应用需求而设定的。它使得许多公式在处理边界情况时更加简洁和一致。
阶乘值对照表（部分）
| 数字 $ n $ | 阶乘 $ n! $ |
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5040 |
为什么 0! 等于 1？
1. 组合数学中的应用
在组合问题中，$ C(n, 0) $ 表示从 $ n $ 个元素中选择 0 个的方式数目，结果应为 1（只有一种方式：什么都不选）。根据组合公式：
$$
C(n, 0) = \frac{n!}{0! \cdot n!}
$$
要使该式成立，必须有 $ 0! = 1 $。
2. 递归定义的延续性
阶乘的递归定义为：
$$
n! = n \times (n-1)!
$$
如果我们令 $ n = 1 $，则：
$$
1! = 1 \times 0!
$$
为了使等式成立，$ 0! $ 必须等于 1。
3. 伽玛函数的扩展
阶乘可以推广到实数甚至复数，通过伽玛函数 $ \Gamma(n) $，其中：
$$
\Gamma(n) = (n-1)!
$$
当 $ n = 1 $ 时，$ \Gamma(1) = 1 $，因此 $ 0! = 1 $。
结语：
尽管“0的阶乘等于几”这个问题看似简单，但它的答案背后却蕴含着数学的严谨性和逻辑性。0! = 1 不仅是一个约定，更是数学理论中不可或缺的一部分。理解这一点，有助于我们在更复杂的数学问题中灵活运用阶乘的概念。
