【arctanx导数是什么】在微积分中，反三角函数的导数是学习的重要内容之一。其中，arctanx（即反正切函数）的导数是一个基础但非常重要的知识点。掌握它的导数有助于理解更复杂的函数求导过程。
一、总结
arctanx 的导数是：
$$
\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1 + x^2}
$$
这个结果可以通过反函数的导数法则或隐函数求导法推导得出。它是许多数学问题和物理模型中的常用公式。
二、导数公式对比表
| 函数表达式 | 导数表达式 | 说明 |
| $ y = \arctan x $ | $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2} $ | 反正切函数的导数 |
| $ y = \arctan u $ | $ \frac{dy}{dx} = \frac{u'}{1 + u^2} $ | 使用链式法则时的导数形式 |
| $ y = \arctan(ax) $ | $ \frac{dy}{dx} = \frac{a}{1 + (ax)^2} $ | 线性变换后的导数 |
三、推导简要说明
设 $ y = \arctan x $，则根据反函数定义有：
$$
x = \tan y
$$
对两边关于 $ x $ 求导得：
$$
1 = \sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx}
$$
由于 $ \sec^2 y = 1 + \tan^2 y = 1 + x^2 $，所以：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}
$$
四、应用举例
1. 求 $ \frac{d}{dx} \arctan(2x) $
使用链式法则：
$$
\frac{d}{dx} \arctan(2x) = \frac{2}{1 + (2x)^2} = \frac{2}{1 + 4x^2}
$$
2. 求 $ \frac{d}{dx} \arctan(x^2) $
同样使用链式法则：
$$
\frac{d}{dx} \arctan(x^2) = \frac{2x}{1 + (x^2)^2} = \frac{2x}{1 + x^4}
$$
五、小结
arctanx 的导数是 $ \frac{1}{1 + x^2} $，这一结果在微积分中具有广泛应用。通过理解其推导过程和应用方式，可以更好地掌握相关知识，并用于解决实际问题。
