【反三角函数定义域】反三角函数是三角函数的反函数，用于求解角度值。常见的反三角函数包括反正弦（arcsin）、反余弦（arccos）、反正切（arctan）以及它们的变种（如 arcsec、arccsc、arccot）。由于原三角函数在某些区间内不是一一对应的，因此反三角函数需要在特定区间内定义，以保证其单值性。
以下是几种常见反三角函数的定义域总结：
反三角函数定义域总结
| 函数名称 | 数学表达式 | 定义域 | 值域 |
| 反正弦 | $ y = \arcsin(x) $ | $ x \in [-1, 1] $ | $ y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $ |
| 反余弦 | $ y = \arccos(x) $ | $ x \in [-1, 1] $ | $ y \in [0, \pi] $ |
| 反正切 | $ y = \arctan(x) $ | $ x \in \mathbb{R} $ | $ y \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $ |
| 反余切 | $ y = \operatorname{arccot}(x) $ | $ x \in \mathbb{R} $ | $ y \in (0, \pi) $ |
| 反正割 | $ y = \operatorname{arcsec}(x) $ | $ x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) $ | $ y \in [0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi] $ |
| 反余割 | $ y = \operatorname{arccsc}(x) $ | $ x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) $ | $ y \in \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right] $ |
说明
- 反正弦函数（arcsin）：定义域为 $[-1, 1]$，因为正弦函数在该区间内是单调递增的。
- 反余弦函数（arccos）：同样定义于 $[-1, 1]$，但值域为 $[0, \pi]$，以确保唯一性。
- 反正切函数（arctan）：定义域为全体实数，因为正切函数在 $(- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 内是单调递增的。
- 反余切函数（arccot）：通常定义为 $(0, \pi)$，以保持连续性。
- 反正割和反余割：由于原函数在 $[-1, 1]$ 内无定义，因此它们的定义域为 $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$。
通过上述表格可以看出，每种反三角函数都有其特定的定义域和值域，这是为了保证其作为函数的单值性和连续性。理解这些定义域有助于在实际应用中正确使用反三角函数。
