【什么叫代数数和超越数】在数学中，数可以按照其性质分为不同的类别。其中，代数数和超越数是两个重要的分类，它们反映了数与多项式方程之间的关系。理解这两个概念有助于我们更深入地认识实数的结构和数学的本质。
一、
代数数是指满足某个非零整系数多项式方程的数。换句话说，如果一个数是某个形如
$$ a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0 $$
的方程的根（其中 $ a_i $ 是整数且 $ a_n \neq 0 $），那么这个数就是代数数。
超越数则是不满足任何整系数多项式方程的数。换句话说，它们无法通过有限次的加减乘除和开方运算得到。常见的超越数包括圆周率 $ \pi $ 和自然对数的底 $ e $。
简单来说，代数数是可以“被多项式描述”的数，而超越数则“无法被多项式描述”。
二、代数数与超越数对比表
| 特性 | 代数数 | 超越数 |
| 定义 | 满足某个非零整系数多项式方程的数 | 不满足任何非零整系数多项式方程的数 |
| 是否可由多项式构造 | 是 | 否 |
| 是否可表达为有限运算 | 可以（如根号、分数等） | 不能 |
| 常见例子 | $ \sqrt{2}, \frac{1}{3}, \pi $（注意：$ \pi $ 实际上是超越数，此处仅为举例说明） | $ \pi, e, \ln(2) $ |
| 数量 | 可数无限 | 不可数无限 |
| 是否包含无理数 | 是 | 是 |
| 是否包含有理数 | 是 | 否 |
三、补充说明
虽然代数数在实数中占据一定比例，但事实上，绝大多数实数都是超越数。这是因为代数数的数量是可数的，而实数是不可数的，因此超越数占了实数的“大多数”。
历史上，欧拉、刘维尔、林德曼等人对代数数和超越数的研究做出了重要贡献。例如，林德曼证明了 $ \pi $ 是超越数，从而解决了“化圆为方”这一古希腊几何难题。
四、结语
代数数与超越数的区分不仅体现了数的复杂性，也揭示了数学中深层次的结构问题。了解这些概念有助于我们更好地理解数学中的基本对象及其性质。
