【求极限lim的常用公式有哪些】在高等数学中，求极限是微积分的基础内容之一。掌握一些常用的极限公式，可以帮助我们更快、更准确地解决各类极限问题。以下是一些常见的极限公式及其适用范围，便于学习和参考。
一、基本极限公式
| 公式 | 表达式 | 说明 |
| 1 | $\lim_{x \to a} c = c$ | 常数函数的极限等于常数本身 |
| 2 | $\lim_{x \to a} x = a$ | 自变量趋近于某点时，其值等于该点 |
| 3 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 三角函数中的重要极限 |
| 4 | $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ | 与三角函数相关的极限 |
| 5 | $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ | 指数函数的基本极限 |
| 6 | $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ | 对数函数的基本极限 |
| 7 | $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^k - 1}{x} = k$ | 二项展开形式的极限 |
二、无穷小量与无穷大量的比较
| 极限类型 | 表达式 | 说明 |
| 1 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 无穷小量之间的等价替换 |
| 2 | $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ | 同样适用于正切函数 |
| 3 | $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$ | 无穷小量的高阶无穷小 |
| 4 | $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ | 对数增长慢于线性增长 |
| 5 | $\lim_{x \to \infty} \frac{x^a}{e^x} = 0$（$a > 0$） | 指数增长快于多项式增长 |
三、常见极限形式及处理方法
| 极限形式 | 处理方式 | 示例 |
| $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ | 若为$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$，可使用洛必达法则 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ |
| $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$ | 连续复利模型中的极限 | 用于计算自然对数底e |
| $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e$ | 与上式等价的形式 | 常用于指数函数的极限推导 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$ | 指数函数的导数形式 | 适用于任意正实数a |
四、泰勒展开与极限
泰勒展开是一种将函数表示为无穷级数的方法，尤其适用于求解复杂函数的极限问题。
- $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \cdots$
- $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \cdots$
- $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots$
- $\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \cdots$
通过泰勒展开可以将复杂的极限转化为简单的多项式运算，从而更容易求解。
五、总结
在实际求解极限的过程中，除了掌握上述基本公式外，还需要结合代数变形、洛必达法则、等价无穷小替换、泰勒展开等多种方法灵活运用。熟练掌握这些工具，有助于提高解题效率和准确性。
建议在学习过程中多做练习题，逐步积累经验，提升对极限问题的理解和处理能力。
