【arctanx的积分等于什么】在微积分的学习中，求函数的积分是一个重要的内容。对于反三角函数之一的 arctanx，它的积分虽然不是基本函数，但可以通过分部积分法来求解。下面将对 arctanx 的积分 进行总结，并以表格形式展示关键步骤和结果。
一、arctanx 的积分公式
arctanx 的不定积分为：
$$
\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
$$
其中，$ C $ 是积分常数。
二、积分过程简要说明
使用分部积分法（即 $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $）：
- 设 $ u = \arctan x $，则 $ du = \frac{1}{1 + x^2} dx $
- 设 $ dv = dx $，则 $ v = x $
代入分部积分公式得：
$$
\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx
$$
接下来计算右边的积分：
$$
\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
$$
因此，最终得到：
$$
\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
$$
三、关键信息总结表
| 内容 | 说明 |
| 函数名称 | arctanx |
| 积分类型 | 不定积分 |
| 积分公式 | $ \int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C $ |
| 使用方法 | 分部积分法 |
| 关键步骤 | 设 $ u = \arctan x $，$ dv = dx $，再计算 $ \int \frac{x}{1 + x^2} dx $ |
| 结果解释 | 包含反三角函数项与对数项的组合 |
四、小结
arctanx 的积分是一个典型的分部积分问题，通过合理选择 $ u $ 和 $ dv $，可以将复杂积分转化为更简单的形式。最终结果不仅包含原函数的乘积项，还包含了对数项，体现了反三角函数与对数函数之间的关系。掌握这一积分方法，有助于进一步理解更复杂的积分技巧。
