【递等数列】在数学中，数列是一种按一定顺序排列的数字集合。其中，“递等数列”是一种特殊的数列形式，其特点是每一项与前一项之间的差值是固定的。这种数列也被称为“等差数列”，但在实际应用中，有时会根据具体情境称为“递等数列”。本文将对递等数列的基本概念、性质及常见题型进行总结，并通过表格形式直观展示其特点。
一、什么是递等数列？
递等数列（等差数列）是指从第二项开始，每一项与前一项的差是一个常数的数列。这个常数称为“公差”，记作 d。
例如：
3, 5, 7, 9, 11...
这是一个以3为首项，公差为2的递等数列。
二、递等数列的通项公式
递等数列的第n项（aₙ）可以用以下公式表示：
$$
a_n = a_1 + (n - 1) \times d
$$
其中：
- $ a_1 $ 是首项
- $ d $ 是公差
- $ n $ 是项数
三、递等数列的性质
| 性质 | 内容 |
| 1. 公差恒定 | 每两项之差相同，即 $ a_{n+1} - a_n = d $ |
| 2. 对称性 | 若数列长度为奇数，则中间项为所有项的平均值 |
| 3. 和的计算 | 前n项和公式为：$ S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) $ |
四、常见题型及解法
| 题型 | 解法 | 示例 |
| 1. 已知首项和公差，求第n项 | 使用通项公式 $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | 若 $ a_1 = 4 $, $ d = 3 $, 则第5项为 $ 4 + 4×3 = 16 $ |
| 2. 已知首项和末项，求项数 | 可结合通项公式求解 $ n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1 $ | 若 $ a_1 = 2 $, $ a_n = 14 $, $ d = 3 $, 则 $ n = \frac{14 - 2}{3} + 1 = 5 $ |
| 3. 求前n项和 | 使用公式 $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | 若 $ a_1 = 1 $, $ a_5 = 9 $, 则 $ S_5 = \frac{5}{2}(1 + 9) = 25 $ |
五、递等数列的应用
递等数列广泛应用于日常生活和工程计算中，如：
- 工资增长模型（每年固定加薪）
- 等差折扣计算
- 时间间隔问题（如每隔一段时间执行一次任务）
六、总结
递等数列是一种基础但重要的数学工具，理解其定义、公式和性质有助于解决多种实际问题。掌握其基本规律后，可以灵活运用于不同场景中。
表格总结：递等数列关键信息
| 项目 | 内容 |
| 定义 | 每一项与前一项的差为常数的数列 |
| 公差 | 记作 d，为相邻两项之差 |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ |
| 前n项和 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ |
| 特点 | 公差恒定、对称性、可计算总和 |
通过以上内容可以看出，递等数列不仅结构清晰，而且应用广泛。掌握它对于提升数学思维和解决问题的能力具有重要意义。
