【等比数列的公式】等比数列是数学中一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，这个常数称为公比。在实际问题中，等比数列被广泛应用于金融、物理、生物学等领域。为了更好地理解和应用等比数列，掌握其基本公式至关重要。
以下是等比数列的核心公式总结：
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 | ||
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | $ a_1 $ 是首项，$ r $ 是公比 | ||
| 前n项和公式 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $ | 当 $ r \neq 1 $ 时成立 | ||
| 无穷等比数列和 | $ S = \frac{a_1}{1 - r} $ | 当 $ | r | < 1 $ 时成立 |
| 等比中项公式 | $ b = \sqrt{a \cdot c} $ | 若 $ a, b, c $ 成等比数列，则 $ b $ 是中间项 |
通过这些公式，我们可以快速计算出等比数列中的任意一项、前几项的和，甚至在特定条件下求出无限项的和。需要注意的是，当公比 $ r = 1 $ 时，等比数列变为常数列，此时前n项和为 $ S_n = n \cdot a_1 $。
在实际应用中，例如复利计算、人口增长模型、放射性衰变等问题，等比数列的公式都起到了关键作用。理解并熟练运用这些公式，有助于提高解题效率和逻辑思维能力。
