【高中数学期望常用公式】在高中数学中，期望是一个重要的概率概念，常用于随机变量的平均值计算。掌握常见的期望公式对于解决概率与统计问题非常关键。以下是对高中阶段常见期望公式的总结，并以表格形式进行展示，便于理解和记忆。
一、期望的基本概念
期望（Expectation）是随机变量在大量重复实验中取值的平均趋势，通常用 $ E(X) $ 表示。它反映了随机变量的“中心位置”。
二、常见期望公式总结
| 类型 | 公式 | 说明 |
| 离散型随机变量期望 | $ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i) $ | 其中 $ x_i $ 是随机变量的可能取值，$ P(x_i) $ 是对应的概率 |
| 两点分布（0-1分布） | $ E(X) = p $ | 若 $ X \sim B(1, p) $，即成功概率为 $ p $ |
| 二项分布 | $ E(X) = np $ | 若 $ X \sim B(n, p) $，表示 $ n $ 次独立试验中成功的次数 |
| 超几何分布 | $ E(X) = n \cdot \frac{M}{N} $ | 在 $ N $ 个产品中有 $ M $ 个次品，抽取 $ n $ 个时，次品数的期望 |
| 均匀分布（连续型） | $ E(X) = \frac{a + b}{2} $ | 若 $ X \sim U[a, b] $，即在区间 $ [a, b] $ 上均匀分布 |
| 指数分布 | $ E(X) = \frac{1}{\lambda} $ | 若 $ X \sim \text{Exp}(\lambda) $，表示事件发生的时间间隔 |
| 正态分布 | $ E(X) = \mu $ | 若 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，均值为 $ \mu $ |
三、应用举例
1. 抛一枚硬币：设 $ X = 1 $ 表示正面，$ X = 0 $ 表示反面，若正面向上的概率为 $ 0.5 $，则：
$$
E(X) = 1 \times 0.5 + 0 \times 0.5 = 0.5
$$
2. 掷一个六面骰子：每个面的概率均为 $ \frac{1}{6} $，则：
$$
E(X) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3.5
$$
3. 二项分布应用：抛一枚硬币 10 次，每次正面概率为 0.5，则期望正面次数为：
$$
E(X) = 10 \times 0.5 = 5
$$
四、注意事项
- 期望是线性算子，即 $ E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) $，无论 $ X $ 和 $ Y $ 是否独立。
- 期望不等于中位数或众数，它更关注的是整体的平均表现。
- 在实际问题中，期望可以帮助我们做出合理的预测和决策。
通过以上总结，我们可以清晰地看到高中数学中期望的常用公式及其应用场景。熟练掌握这些公式，有助于提高解题效率和准确率。
