【向量叉乘公式是什么】向量叉乘，又称向量积或外积，是向量代数中的一个重要概念，主要用于三维空间中描述两个向量之间的垂直关系。叉乘的结果是一个与原两向量都垂直的向量，其方向由右手定则决定，大小则由两个向量的模长和夹角的正弦值决定。

以下是关于向量叉乘的基本公式及其应用的总结：

一、向量叉乘的基本定义

设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和向量 b = (b₁, b₂, b₃)，它们的叉乘结果为一个新向量 c = a × b，满足以下性质：

- 方向：垂直于向量 a 和 b 所在的平面；

- 大小：c = absinθ（θ 是 a 和 b 的夹角）；

- 方向判断：根据右手螺旋法则确定。

二、向量叉乘的计算公式

向量叉乘的计算公式如下：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

也可以写成：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \left( a_2b_3 - a_3b_2, \; a_3b_1 - a_1b_3, \; a_1b_2 - a_2b_1 \right)

$$

三、向量叉乘的性质总结

四、应用场景

向量叉乘在物理和工程中有着广泛的应用，例如：

- 力矩计算：力矩是位置向量与作用力的叉乘；

- 磁场中的洛伦兹力：电荷在磁场中受力的方向由速度与磁场的叉乘决定；

- 三维图形旋转：在计算机图形学中用于计算旋转轴；

- 几何问题求解：如计算平面的法向量、判断点是否在平面上等。

五、示例计算

设向量 a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)，则：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

\end{vmatrix}

= (2×6 - 3×5)\mathbf{i} - (1×6 - 3×4)\mathbf{j} + (1×5 - 2×4)\mathbf{k}

$$

$$

= (12 - 15)\mathbf{i} - (6 - 12)\mathbf{j} + (5 - 8)\mathbf{k}

= (-3)\mathbf{i} + 6\mathbf{j} - 3\mathbf{k}

$$

所以，a × b = (-3, 6, -3)。

通过以上内容可以看出，向量叉乘不仅是一个数学工具，更是理解三维空间中物理现象的重要基础。掌握它的基本公式和性质，有助于在多个领域进行更深入的分析与应用。