【arctanx的原函数怎么算】在微积分中，求一个函数的原函数（即不定积分）是一个基本问题。对于函数 $ \arctan x $，我们可以通过分部积分法来求其原函数。下面将详细说明计算过程，并以加表格的形式展示结果。

一、计算思路

函数 $ \arctan x $ 是反三角函数，它的导数是已知的：

$$

\frac{d}{dx} (\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2}

$$

但我们现在要求的是它的原函数，即：

$$

\int \arctan x \, dx

$$

为了求这个积分，我们可以使用分部积分法，即：

$$

\int u \, dv = uv - \int v \, du

$$

设：

- $ u = \arctan x $

- $ dv = dx $

则：

- $ du = \frac{1}{1 + x^2} dx $

- $ v = x $

代入公式得：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx

$$

接下来计算第二项积分：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} dx

$$

令 $ t = 1 + x^2 $，则 $ dt = 2x dx $，所以：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t} = \frac{1}{2} \ln 1 + x^2 + C

$$

因此，最终得到：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

二、

通过分部积分法，我们成功地求出了 $ \arctan x $ 的原函数。该过程涉及对 $ \arctan x $ 和 $ x $ 的选择，以及对后续积分的简化处理。最终结果为：

$$

x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

其中 $ C $ 为积分常数。

三、表格总结

如需进一步验证，可对结果求导，确认是否等于原函数 $ \arctan x $。此方法适用于大多数类似的反三角函数积分问题。