【常用等价无穷小替换公式?】在高等数学中，特别是在求极限和泰勒展开时，等价无穷小的替换是一个非常重要的工具。它可以帮助我们简化复杂的表达式，快速得出极限结果。掌握常见的等价无穷小替换公式，有助于提高解题效率和准确性。
下面是对一些常用等价无穷小替换公式的总结，并以表格形式进行展示，便于查阅和记忆。
一、基本概念
当 $ x \to 0 $ 时，若两个函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 满足：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1
$$
则称 $ f(x) $ 与 $ g(x) $ 在 $ x \to 0 $ 时是等价无穷小，记作：
$$
f(x) \sim g(x)
$$
二、常用等价无穷小替换公式（当 $ x \to 0 $ 时）
| 函数表达式 | 等价无穷小替换 |
| $ \sin x $ | $ x $ |
| $ \tan x $ | $ x $ |
| $ \arcsin x $ | $ x $ |
| $ \arctan x $ | $ x $ |
| $ \ln(1 + x) $ | $ x $ |
| $ e^x - 1 $ | $ x $ |
| $ a^x - 1 $ | $ x \ln a $（其中 $ a > 0, a \neq 1 $） |
| $ 1 - \cos x $ | $ \frac{1}{2}x^2 $ |
| $ \sqrt{1 + x} - 1 $ | $ \frac{1}{2}x $ |
| $ (1 + x)^k - 1 $ | $ kx $（其中 $ k $ 为常数） |
三、注意事项
1. 替换条件：只有在 $ x \to 0 $ 时才适用这些等价关系，其他情况下不能随意替换。
2. 乘除法中可替换：在乘积或商的形式中，可以用等价无穷小替换，但加减法中需谨慎，可能需要更高阶的展开。
3. 高阶无穷小：如 $ x^2 $ 是比 $ x $ 更高阶的无穷小，通常在替换中忽略不计。
四、实际应用举例
例1：求极限
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}
$$
解：由于 $ \sin x \sim x $，所以
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1
$$
例2：求极限
$$
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}
$$
解：由 $ e^x - 1 \sim x $，得
$$
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1
$$
五、总结
掌握常用的等价无穷小替换公式，不仅能帮助我们在计算极限时节省时间，还能增强对函数行为的理解。建议在学习过程中多做练习，逐步熟练运用这些公式，避免因误用而导致错误。
通过表格形式的整理，可以更清晰地看到各个函数与其等价无穷小之间的关系，便于记忆和应用。希望这篇总结能对你有所帮助！
