【四阶行列式的展开式是什么】在数学中，行列式是一个与方阵相关的数值，它在矩阵理论、线性代数以及许多应用领域中有着重要的作用。对于二阶和三阶行列式，我们有较为简单的展开公式，但对于四阶行列式，其展开方式则更为复杂。

四阶行列式可以通过余子式展开（也称为拉普拉斯展开）来计算。这种展开方法是基于将一个n阶行列式分解为若干个(n-1)阶行列式的组合。对于四阶行列式，我们可以选择任意一行或一列进行展开。

一、四阶行列式的定义

设有一个4×4的矩阵 $ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{bmatrix} $，其行列式记作 $ A $ 或 $ \det(A) $。

二、四阶行列式的展开方式

四阶行列式的展开通常采用按行或按列展开的方式，即利用余子式（Minor）和代数余子式（Cofactor）进行计算。

1. 余子式（Minor）

对于元素 $ a_{ij} $，其对应的余子式 $ M_{ij} $ 是去掉第i行和第j列后得到的3×3行列式。

2. 代数余子式（Cofactor）

代数余子式 $ C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij} $

三、四阶行列式的展开公式

以第一行为基准进行展开为例：

$$

\det(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13} + a_{14}C_{14}

$$

其中：

- $ C_{11} = (-1)^{1+1}M_{11} = M_{11} $

- $ C_{12} = (-1)^{1+2}M_{12} = -M_{12} $

- $ C_{13} = (-1)^{1+3}M_{13} = M_{13} $

- $ C_{14} = (-1)^{1+4}M_{14} = -M_{14} $

同样地，也可以选择其他行或列进行展开，如第二行、第三行、第四行，或者第一列、第二列等。

四、四阶行列式的展开示例（按第一行展开）

假设矩阵为：

$$

A = \begin{bmatrix}

a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\

a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\

a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\

a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}

\end{bmatrix}

$$

则其行列式展开为：

$$

\det(A) = a_{11} \cdot \begin{vmatrix}

a_{22} & a_{23} & a_{24} \\

a_{32} & a_{33} & a_{34} \\

a_{42} & a_{43} & a_{44}

\end{vmatrix}

- a_{12} \cdot \begin{vmatrix}

a_{21} & a_{23} & a_{24} \\

a_{31} & a_{33} & a_{34} \\

a_{41} & a_{43} & a_{44}

\end{vmatrix}

+ a_{13} \cdot \begin{vmatrix}

a_{21} & a_{22} & a_{24} \\

a_{31} & a_{32} & a_{34} \\

a_{41} & a_{42} & a_{44}

\end{vmatrix}

- a_{14} \cdot \begin{vmatrix}

a_{21} & a_{22} & a_{23} \\

a_{31} & a_{32} & a_{33} \\

a_{41} & a_{42} & a_{43}

\end{vmatrix}

$$

五、总结表格

通过上述方法，可以系统地计算出四阶行列式的值。虽然过程较为繁琐，但它是理解高阶行列式结构的重要基础。在实际计算中，也可以使用计算器或软件工具辅助完成复杂的展开运算。